Определитель матрицы и его свойства. Методы вычисления определителей Алгебраические дополнения и миноры

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали :

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения . Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$

$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя : из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя , сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

$$\left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {0} & {4} & {8}\end{array}\right|=4 \cdot(-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя , равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .

Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .

Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле

|А | = .

Например, |А | = .

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.

Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:

А ij = (-1) i + j М ij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.

Например, для элементов а 11 и а 12 матрицы А = миноры

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А | = а i1 A i1 + а i2 A i2 + … + а in A in ,
для любого i = 1, 2, …, n

|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.

А ×А -1 = А -1 × А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

Она поможет не только чайникам, но даже тем, кто впервые услышал слово «определитель». Минуло два года с тех пор, когда на сайте было всего десять страничек, и вот, после моего долгого-долгого путешествия в мир матана, всё возвращается на круги своя.

Представьте, что вам нужно вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам строки (столбца). Хотя чего тут представлять – нужно же =) Над ним можно сидеть 5 минут, а можно 2-3 минуты. Или даже в районе одной минуты. Время, которое вы потратите, зависит не только от вашего опыта, но и от знаний свойств определителей. Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат! «Ерунда, чего экономить на спичках, и так всё решим», – скажут некоторые. Допустим. И не допустим оплошностей;-) Но как быть с достаточно распространённым на практике определителем 4-го порядка? Воевать с этим перцем придётся уже 10-20 минут. И это будет даже не бой, а бойня, поскольку очень велика вероятность вычислительной ошибки, которая «завернёт» вас на второй круг решения. А если определитель пятого порядка? Спасёт только понижение порядка определителя. Да, такие примеры тоже встречаются в контрольных работах.

Материалы данной страницы позволят значительно улучшить вашу технику решения определителей и упростят дальнейшее освоение высшей математики.

Эффективные методы вычисления определителя

В первую очередь коснёмся не свойств определителя, а как раз методов его рационального вычисления. Эти приёмы решения лежат на поверхности и понятны многим, но всё-таки остановимся на них подробнее. Предполагается, что читатель уже умеет достаточно уверенно раскрывать определитель третьего порядка. Как известно, данный определитель можно раскрыть 6 стандартными способами: по любой строке или любому столбцу. Казалось бы, без разницы, ведь ответ получится один и тот же. Но все ли способы одинаково легкИ? Нет. В большинстве случаев есть менее выгодные пути и более выгодные пути решения.

Рассмотрим определитель , который я обильно покрыл татуировками ещё на первом уроке. В той статье мы подробно, с картинками разложили его по первой строке. Первая строка – это хорошо и академично, однако нельзя ли быстрее достичь результата? В определителе есть ноль, и, раскрывая его по второй строке либо по второму столбцу, вычислений заметно поубавится!

Разложим определитель по второму столбцу:

На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид:

Задание 1

Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись.

Решение в конце урока.

Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок. Рассмотрим определитель . Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:

Вот и всё решение!

Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид , например: – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали , равны нулю.

Разложим его по первому столбцу:

В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали :

Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:

Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так.

А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули ? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя.

Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта-Клауса!

Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид:

Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений:

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше ;
2) числа поменьше .

Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков.

Небольшой пример для закрепления материала:

Задание 2

Вычислить определитель, раскрыв его по строке либо столбцу, используя при этом наиболее рациональный способ

Это пример для самостоятельного решения, оптимальное решение и ответ – в конце урока.

И ещё один важный совет: не комплексуйте! Не нужно «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте!

Свойства определителя

Рассмотрим старых знакомых первого урока: матрицу и её определитель .

На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями: матрица – это таблица элементов , а определитель – это число .

При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется

Транспонируем матрицу:

Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению: . Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.

В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится.

Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент:

В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом. Строки стали столбцами, а результат не изменился. Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны . Иными словами, если какое-нибудь свойство справедливо для строки, то аналогичное свойство справедливо и для столбца! В действительности с этим мы уже давно столкнулись – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так равноправно и по столбцу.

Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Возникает только один вопрос, зачем? Практический смысл рассмотренного свойства невелик, но его полезно закинуть в багаж знаний, чтобы лучше понимать другие задачи высшей математики. Например, сразу становится ясно, почему при исследовании векторов на компланарность их координаты можно записать как в строки определителя, так и в столбцы.

Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
то определитель сменит знак

! Помните , речь идёт об определителе! В самой матрице переставлять ничего нельзя!

Сыграем в кубик-рубик с определителем .

Поменяем первую и третью строку местами:

Определитель сменил знак.

Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки:

Определитель ещё раз изменил знак.

Переставим второй и третий столбец:

То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный .

Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать . Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»:

Раскроем его, скажем, по первой строке:

Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишние реверансы – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (кстати, крайне не рекомендую выполнять подобные действия «за один присест» устно).

Чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки:

Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком целесообразнее разбираться другим способом (читайте дальше).

Рассмотренное действие опять же помогает лучше понять, например, некоторые свойства векторного произведения векторов или смешанного произведения векторов.

А вот это уже более интересно:

Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами , в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».

Встречаем очередного пациента: .

В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество.

Вынесем –1 из первой строки:

Или короче:

Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно. Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато.

Вынесем «минус» из второй строки:

Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести , причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:

Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –216).

На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус:

Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения.

Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, по-любому выгоднее вынести. Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7:

Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется.

Задание 3

Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё пара полезных правил:

Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки:

Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы . Так как при транспонировании величина определителя не меняется, то из линейной зависимости строк следует и линейная зависимость столбцов.

В пример можно вложить геометрический смысл – если считать, что в строках записаны координаты векторов пространства, то первые два вектора с пропорциональными координатами будут коллинеарны, а значит, все три вектора – линейно зависимы , то есть компланарны.

В следующем примере пропорциональны три столбца (и, к слову, три строки тоже):

Здесь второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице

Перечисленные свойства вполне можно использовать на практике. Но помните, повышенный уровень знаний иногда наказуем;-) Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль).

Следует отметить, что обратное в общем случае неверно – если определитель равен нулю, то из этого ещё не следует , что его строки (столбцы) пропорциональны. То есть линейная зависимость строк/столбцов может быть и не явной.

Существуют и более очевидный признак, когда сразу можно сказать, что определитель нулевой:

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

«Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по первому столбцу:

Впрочем, результат не изменится, если раскрыть определитель по любой строке или любому столбцу.

Выжимаем второй стакан апельсинового сока:

Какие свойства определителей полезно знать?

1) Величина определителя не меняется при транспонировании . Свойство запоминаем.

2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный . Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.

3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно) . Используем там, где это выгодно.

4) Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

На протяжении урока неоднократно наблюдалась элементарная закономерность – чем больше в строке (столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. Возникает вопрос, а нельзя ли нули организовать специально с помощью какого-нибудь преобразования? Можно! Познакомимся ещё с одним очень мощным свойством:

Понижение порядка определителя

Очень хорошо, если вы уже разобрались с методом Гаусса и имеете опыт решения систем линейных уравнений этим способом. Фактически сформулированное ниже свойство дублирует одно из элементарных преобразований .

Чтобы нагулять аппетит раздавим маленького лягушонка:

К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится

Пример: в определителе получим ноль слева вверху.

Для этого вторую строку мысленно либо на черновике умножим на 3: (–3, 6) и к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 3 :

Результат записываем в первую строку :

Проверка:

Теперь в том же определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно) на –2 ):

Результат записываем во вторую строку :

Обратите внимание : при элементарном преобразовании меняется ТА строка, к которой прибавляЮТ .

Сформулируем зеркальное правило для столбцов:

К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится

Возьмём за лапки животное и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: и к первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3 :

Результат запишем в первый столбец :

И, наконец, в определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный (мысленно) на 2 (смотрим и считаем справа налево ):

Результат помещаем во второй столбец :

При элементарном преобразовании меняется ТОТ столбец, к которому прибавляЮТ .

Постарайтесь качественно переварить нижеследующий пример.

Отправим в суп подросшее земноводное:

Задача состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований понизить порядок определителя до второго порядка.

С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо –1. Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом-«мишенью» будет элемент :

Примечание : смысл двойных подстрочных индексов можно узнать в статье Правило Крамера. Матричный метод . В данном случае индексы элемента говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце.

Идея состоит в том, чтобы получить два нуля в третьем столбце:

Либо получить два нуля во второй строке:

Во второй строке числа поменьше (не забываем золотое правило), поэтому выгоднее взять именно её. А третий столбец с числом-«мишенью» останется неизменным:

Ко второму столбцу прибавляем третий столбец :

Тут и умножать ничего не пришлось.

Результат записываем во второй столбец:

К первому столбцу прибавляем третий столбец, умноженный (мысленно) на –2 :

Результат записываем в первый столбец, раскладываем определитель по второй строке:

Как мы понизили порядок определителя? Получили два нуля во второй строке.

Решим пример вторым способом, организуем нули в третьем столбце:

Вторая строка с числом-«мишенью» останется неизменной:

К первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –4:

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх) :

Результат записываем в третью строку, определитель раскрываем по третьему столбцу:

Заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы . Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх.

Задание 4

Вычислить тот же определитель , выбрав в качестве числа-«мишени» элемент . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и краткие комментарии в конце урока.

Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: . В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную –1:

Результат записываем в первую строку:

! Внимание : НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! Поэтому к первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так!

Единица получена, чего и требовалось достичь. Далее можно получить два нуля в первой строке либо в первом столбце. Желающие могут довести решение до конца (верный ответ: –176).

Стоит отметить, что готовая «мишень» чаще всего присутствует в исходном определителе, а уж для определителя 4-го порядка и выше дополнительное преобразование крайне маловероятно.

Порубим на гуляш несколько крупных жаб:

Задача

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Ничего страшного, если вы ещё не успели ознакомиться с методом Крамера , в этом случае можно просто посмотреть, как понижается порядок у определителя «четыре на четыре». Да и само правило станет понятно, если чуть-чуть вникнуть в ход решения.

Решение : сначала вычислим главный определитель системы:

Есть возможность пойти стандартным путём, разложив данный определитель по строке либо столбцу. Вспоминая алгоритм первого урока, и, используя придуманную мной матрицу знаков , раскроем определитель, например, по «классической» первой строке:

Не вижу вашего энтузиазма =) Безусловно, можно посидеть минут десять и аккуратно-внимательно родить правильный ответ. Но беда в том, что в дальнейшем предстоит вычислить ещё 4 определителя четвёртого порядка. Поэтому единственный разумный выход – понизить порядок определителя.

Единиц в определителе много, и наша задача выбрать лучший вариант. Вспоминаем золотое правило: в строке (столбце) нулей должно быть побольше, и числа – поменьше. По этой причине вполне подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там есть две единицы. В качестве «мишени» выбираем элемент :

Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже необходимый ноль:

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –1 (смотрим и считаем снизу вверх ):

! Внимание ещё раз : Не нужно из третьей строки вычитать первую строку. Только складываем!

Результат записываем в третью строку:

К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную на 3 (смотрим и считаем снизу вверх ):

Результат записываем в четвёртую строку:

(1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу нужно добавить «минус» (см. матрицу знаков).

(2) Порядок определителя понижен до 3-го. В принципе, его можно разложить по строке (столбцу), но лучше отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку.

(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7.

(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё понижая его порядок до двух.

Заметьте, как сократилось решение! Главное, немного «набить руку» на элементарных преобразованиях, и такая возможность представится прямо сейчас. К тому же в вашем распоряжении есть калькулятор, который считает определители (в частности, его можно найти на странице Математические формулы и таблицы ). С помощью калькулятора легко контролировать выполняемые действия. Получили определитель на первом шаге – и сразу проверили, равен ли он исходному определителю.

(1) Раскрываем определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен до трёх.

(2) Вносим «минус» в первый столбец.

(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 5.

(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, понижая порядок определителя до двух.

Замечательный получается у нас комплексный обед, и пришло время десерта:

Это уже даже не жаба, это сам Годзилла. Возьмём заготовленный стакан апельсинового сока и посмотрим, как понижается порядок определителя. Алгоритм, думаю, понятен: с пятого порядка понижаем до четвёртого, с четвёртого – до третьего и с третьего – до второго:

(1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку.

(2) Раскрываем определитель по 3-му столбцу. Порядок определителя понизился до четырёх.

(3) Из 4-го столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Данное преобразование выполнено в целях упростить дальнейшие вычисления.

(4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3.

(5) Раскрываем определитель по 4-му столбцу. Порядок понижен до трёх.

(6) Раскрываем определитель по 2-му столбцу. Порядок понижен до двух.

(7) Выносим «минус» из 1-го столбца.

Всё вышло проще, чем казалось, у всех монстров есть слабые места!

Неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма.

Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце:

К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскрыли по второму столбцу.

Задание 5: Решение :


(1) К первой строке прибавим третью строку, умноженную на 3. Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К 4-й строке прибавим третью строку, умноженную на 2.
(2) Раскрываем определитель по первому столбцу.
(3) Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 9. К первому столбцу прибавим третий столбец.
(4) Раскрываем определитель по третьей строке.

(1) К первому столбцу прибавим второй столбец. К третьему столбцу прибавим второй столбец
(2) Раскрываем определитель по третьей строке.
(3) Вносим «минус» в первую строку.
(4) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 6. К третьей строке прибавим первую строку
(5) Раскрываем определитель по первому столбцу.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число kравносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, .

6) Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Минором элемента определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя – го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если – четное число и со знаком минус в противном случае.

Обозначение: .

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

7) Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы , похожие на обратные по многим свойствам.

8)Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба.

Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M - базисный минор матрицы A, тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Ответ: СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Определитель. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, - определитель равен нулю.Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

5.вырожденная матрица. обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.

Ответ: Вы́рожденной, особой (сингулярной) матрицей называется квадратная матрица А, если её определитель (Δ) равен нулю. В противном случае матрица А называется невырожденной.

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей равенствам:

Называется обратной. Матрицу называют обратимой, если для нее существует обратная, в противном случае - необратимой.

Из определения следует, что если обратная матрица существует, то она квадратная того же порядка, что и . Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы равен нулю , то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы получаем противоречие

Так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае - невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

где - матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы .

Матрица называется присоединенной матрицей по отношению к матрице .

В самом деле, матрица существует при условии . Надо показать, что она обратная к , т.е. удовлетворяет двум условиям:

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что . Поэтому

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрица имеет обратную

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрица такая, что . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем . Отсюда , что противоречит предположению . Следовательно, обратная матрица единственная.

Замечания 4.1

1. Из определения следует, что матрицы и перестановочны.

2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.

4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).

Свойства обратной матрицы

Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:

Если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.

Докажем свойство 2: если произведение невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то .

Действительно, определитель произведения матриц не равен нулю, так как

Следовательно, обратная матрица существует и единственна. Покажем по определению, что матрица является обратной по отношению к матрице . Действительно:

Из единственности обратной матрицы следует равенство . Второе свойство доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства.

Замечания 4.2

1. Для комплексной матрицы справедливо равенство, аналогичное свойству 3:

Где - операция сопряжения матриц.

2. Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степень матрицы. Для невырожденной матрицы и любого натурального числа определим .

6.системы линейных уравнений. Коэффициенты при неизвестных, свободных членах. Решение системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Система линейных однородных уравнений и её особенности.

Ответ: Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i - свободными членами. Подлежат нахождению числа x n .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

Вектор-столбец из неизвестных x j .

Вектор-столбец из свободных членов b i .

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных х 1 =c 1 , x 2 =c 2 , ..., x n =c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

4.2. Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с n неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теоремаКронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.

2. Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r(напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1.

4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(4.1)

или в матричной форме А*Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A -1, получим

A -1 *A*X=A -1 *B Поскольку. A -1 *A=E и Е*Х=Х, то

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способомрешения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

Отсюда следует, что

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель D 1 получается из определителяD путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:

где D2 получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов:

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3.

4.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

Коэффициенты aii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее.

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь - новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х 2 из всех уравнений системы, кроме первого я второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений, В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные (x k+ 1,…,x n). Затем подставляем значение x k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x k-1 через (x k+ 1,…,x n). , затем находим x k-2 ,…,x 1. . Придавая свободным неизвестным (x k+ 1,…,x n). произвольные значения, получим бесчи­сленное множество решений системы.

Замечания:

1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x n из предпоследнего уравнения x n-1 , далее подни­маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (x n-1 ,...,x 1).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a 11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a 11 ¹1).

Пример 4.4.

Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицейсистемы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Если положить, например, x 3 =0,x 4 =0, то найдем одно из частных решений этой системы x 1 =-1,x 2 =-3,x 3 =0,x 4 =0.

Пример 4.5.

Решить систему методом Гаусса:

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим x 3 =1, x 2 =1,x 1 =1.

4.5 Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r

Достаточность:

Пусть r

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x 3 =0,получаем одно частное решение: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Положив x 3 =1, получаем второе частное решение: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 и т д.