Уроки математики: почему нельзя делить на ноль. Почему нельзя делить на ноль? Делится ли ноль

Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на 0, но стоит переступить порог университета - индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно. Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти. Можно объяснить и попроще.

История и философия ноля

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы - философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами .

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей - какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей - лимонный сок.

Достаточно задать самому себе вопрос:

Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.

х/ ∞=0 значит и х/0=∞

Что будет если поделить на ноль?

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0

А отсюда: а=b

То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 .

Делим 4 на ноль - нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?» Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть - бесчисленное множество решений. Так что же получится в итоге?

Простое объяснение из жизни

Вот вам задачка из физики и реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!

Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!

И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.

Еще одно объяснение

Давайте определимся, что такое деление? Например, 8/4 – означает вопрос «сколько четверок, может поместится в восьмерке?» Ответ: «две четверки», то есть математически 8/4=2.

А если задать себе вопрос 5/0=? Сколько нолей поместится внутри пятерки? Да сколько угодно. Бесконечное количество.

Но если вместо абстрактных цифр взять материальные вещи, например, яблоко. 6/3 - «если разложить 6 яблок по 3 в ящики,то сколько нужно ящиков?» Ответ: «2 ящика». Идем дальше 4/0 - «если разложить 4 яблока по ноль(!) штук в ящики, то сколько…» Получится, что ящики то не нужны, мы ничего никуда не кладем!

Совсем простое объяснение

10/2 =5 10/4 =2,5 10/8 =1,25 ….Чем больше число в знаменателе, тем меньше результат

10/2 =5 10/1 =10 10/1,5 =20 ….Чем меньше число в знаменателе, тем больше результат, а если взять очень маленькое число? Например, 0,0000001 получится 1 00 000 000. И если пойти дальше в своих размышлениях и уменьшить знаменатель до нуля? В итоге получим что настолько огромное, что будет называться «бесконечность».

Так можно ли делить на ноль?

Все зависит от того, зачем вам это нужно и в рамках каких правил вы решили «разделять». Если это алгебра, то все просто «на ноль делить нельзя» потому, что нет такого понятия как «бесконечность» (это вообще-то и не число вовсе), и неясно что должно получится в итоге.

Можно ли делить на ноль в высшей математике - да пожалуйста. Ведь нуль может быть представлен цифрой ноль (цифра означает число со значением «0», то есть вообще ничего), а может и неким бесконечно малым (то есть стремится к нулю, почти ничего, но все таки - не ничто ). Тогда ничего не мешает спокойно делить на «бесконечно малое».

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее - высшая математика. Так что, в некотором роде, делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно… Но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль – яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность – это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление – это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль - как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль - это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

• бесконечность, разделенная на бесконечность: ?:?;
• бесконечность минус бесконечность: ???;
• единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ? ;
• бесконечность, умноженная на 0: ?*0;
• некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь – французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

В настоящее время метод Лопиталя с успехом применяется при решении неопределенностей типа 0:0 или?:?.

Как делить и умножать на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.?

Напишите правила деления и умножения.

Чтобы умножить число на 0.1, нужно просто перенести запятую.

Например было 56 , стало 5,6 .

Чтобы разделить на это же число, нужно перенести запятую в противоположную сторону:

Например было 56 , стало 560 .

С числом 0,01 всё то же самое, но нужно перенести на 2 знака, а не на один.

Вообщем сколько нулей, на столько и переносите.

Например есть число 123456789.

Нужно его умножить на 0.000000001

Нулей в числе 0.000000001 девять (ноль слева от запятой тоже считаем), значит число 123456789 сдвигаем на 9 разрядов:

Было 123456789 стало 0,123456789.

Чтобы не умножить, а разделить на это же число, сдвигаем в другую сторону:

Было 123456789 стало 123456789000000000.

Чтобы сдвинуть так целое число, просто приписываем к нему нолик. А в дробном передвигаем запятую.

Деление числа на 0,1 соответствует умножению этого числа на 10

Деление числа на 0,01 соответствует умножению этого числа на 100

Деление на 0,001 — умножению на 1000.

Чтобы легче было запомнить — читаем число, на которое нужно разделить справа налево, не обращая внимания на запятую, и на полученное число умножаем.

Пример: 50: 0,0001. Это все равно что 50 умножить на (читаем справа налево без запятой — 10000) 10000. Получается 500000.

То же самое с умножением, только наоборот:

400 х 0,01 — то же самое, что разделить 400 на (читаем справа налево без запятой — 100) 100: 400: 100 = 4.

Кому удобнее переносить при умножении и делении на такие числа запятые вправо при делении и влево при умножении, можно делать и так.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Деление на десятичную дробь

I. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Приме ры.

Выполнить деление: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Решение.

Пример 1) 16,38: 0,7.

В делителе 0,7 после запятой стоит одна цифра, поэтому, перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо.

Тогда нам нужно будет разделить 163,8 на 7 .

Выполним деление по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

Делим так, как делят натуральные числа. Как снесем цифру 8 - первую цифру после запятой (т.е. цифру в разряде десятых), так сразу поставим в частном запятую и продолжим деление.

Ответ: 23,4.

Пример 2) 15,6: 0,15.

Переносим запятые в делимом (15,6 ) и делителе (0,15 ) на две цифры вправо, так как в делителе 0,15 после запятой стоят две цифры.

Помним, что справа к десятичной дроби можно приписать сколько угодно нулей, и от этого десятичная дробь не изменится.

15,6:0,15=1560:15.

Выполняем деление натуральных чисел.

Ответ: 104.

Пример 3) 3,114: 4,5.

Перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо и разделим 31,14 на 45 по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

3,114:4,5=31,14:45.

В частном поставим запятую сразу, как сносим цифру 1 в разряде десятых. Затем продолжаем деление.

Чтобы закончить деление нам пришлось приписать нуль к числу 9 - разности чисел 414 и 405 . (мы знаем, что справа к десятичной дроби можно приписывать нули)

Ответ: 0,692.

Пример 4) 53,84: 0,1.

Переносим запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо.

Получаем: 538,4:1=538,4.

Проанализируем равенство: 53,84:0,1=538,4. Обращаем внимание на запятую в делимом в данном примере и на запятую в полученном частном. Замечаем, что запятая в делимом перенесена на 1 цифру вправо, как если бы мы умножали 53,84 на 10. (Смотрите видео «Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.») Отсюда правило деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

II. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)

Примеры.

Выполнить деление: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Решение.

Пример 1) 617,35: 0,1.

Согласно правилу II деление на 0,1 равносильно умножению на 10 , и запятую в делимом перенесем на 1 цифру вправо :

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235: 0,01.

Деление на 0,01 равносильно умножению на 100 , значит, запятую в делимом перенесем на 2 цифры вправо :

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845: 0,001.

Так как деление на 0,001 равносильно умножению на 1000 , то перенесем запятую на 3 цифры вправо :

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397: 0,0001.

Разделить десятичную дробь на 0,0001 - это все равно, что умножить ее на 10000 (переносим запятую на 4 цифры вправо ). Получаем:

www.mathematics-repetition.com

Умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,01

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

Умножение чисел на 10, 100

Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичная запись данного числа – это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:

Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:

Выходит, что.

Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

Умножить на 100 – это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:

Деление чисел на 10, 100

Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:

Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:

Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:

Упражнение. Разделить 124,478 на 100.

Разделить на 100 – это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

Правило умножения и деления на 10, 100, 1000

Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.

И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.

Примеры, когда необходимо сдвинуть запятую, а цифр уже не осталось

Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.

Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.

Эквивалентные десятичные записи

Запись 52 означает следующее:

Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.

Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.

Теперь посмотрим на десятичную дробь:

Если приписать ноль, то получается:

Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.

Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.

Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.

То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.

В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

Умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 – очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

Пример . Умножить 25,34 на 0,1.

Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на – то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

Аналогично умножить на 0,01 – это разделить на 100:

Пример. 5,235 разделить на 0,1.

Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на – это все равно, что умножить на 10:

То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.

Правило умножения и деления на 0,1, 0,01, 0,001

Умножить на 10 и разделить на 0,1 – это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.

Разделить на 10 и умножить на 0,1 – это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:

Решение примеров

Вывод

На этом уроке было изучено правила деления и умножения на 10, 100 и 1000. Кроме того, были рассмотрены правила умножения и деления на 0,1, 0,01, 0,001.

Примеры на применения данных правил были рассмотрены и решены.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика: учеб. для 5 кл. общеобр. учр. 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.

2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011.

3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006.

4. Хлевнюк Н.Н., Иванова М.В.. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011.

1. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

2. Интернет портал «Matematika-na.ru» (Источник)

3. Интернет портал «School.xvatit.com» (Источник)

Домашнее задание

3. Сравните значения выражений:

Действия с нулём

В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметк и начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

• Бланки налоговых деклараций Предлагаем вашему вниманию бланки декларации по всем видам налогов и сборов: 1. Налог на прибыль. Внимание с 10.02.2014 отчет по налогу на прибыль подается по новым образцам деклараций, утвержденных приказом Миндоходов № 872 от 30.12.2013.1. 1. Налоговая декларация по налогу на […]
• Квадрат суммы квадрат разности правила Цель: вывести формулы для возведения в квадрат суммы и разности выражений. Планируемые результаты: научиться пользоваться формулами квадрата суммы и квадрата разности. Тип урока: урок проблемного изложения. I. Сообщение темы и цели урока II. Работа по теме урока При перемножении […]
• Чем отличается приватизация квартиры с несовершеннолетними детьми от приватизации без детей? Особенности их участия, документы Любые операции с недвижимостью требуют пристального внимания участников. Особенно если планируется приватизация квартиры с несовершеннолетними детьми. Чтобы она была признана состоявшейся, а […]
• Размер госпошлины на загранпаспорт старого образца на ребенка до 14 лет и где её заплатить Обращение в государственные органы за получением любой услуги всегда сопровождается оплатой государственной пошлины. Чтобы оформить заграничный паспорт, также необходимо оплатить федеральный сбор. Сколько составляет размер […]
• Как заполнить бланк заявления на замену паспорта в 45 лет Паспорта россиян в обязательном порядке подлежат замене при достижении возрастной отметки – 20 либо 45 лет. Для получения государственной услуги следует подать заявление установленного образца, приложить необходимые документы и оплатить государственную […]
• Как и где оформить дарственную на долю в квартире Многие граждане сталкиваются с такой юридической процедурой, как дарение недвижимости, находящейся в долевой собственности. Информации о том, как оформить дарственную на долю в квартире правильно, довольно много, и она не всегда достоверна. Прежде чем начинать, […]

«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Каждый из нас со школы вынес как минимум два незыблемых правила: «жи и ши — пиши с буквой И» и «на ноль делить нельзя «. И если первое правило можно объяснить особенностью Русского языка, то второе вызывает вполне логичный вопрос: «А почему?»

Почему нельзя делить на ноль?

Не совсем понятно, почему об этом не говорят в школе, но с точки зрения арифметики ответ очень даже прост.

Возьмем число 10 и поделим его на 2 . Это подразумевает, что мы взяли 10 каких-либо предметов и расставили их по 2 равным группам, то есть 10: 2 = 5 (по 5 предметов в группе). Этот же пример можно записать и с помощью уравнения x * 2 = 10 (и х здесь будет равен 5 ).

Теперь, на секунду представим, что на ноль делить можно, и попробуем 10 делить на 0 .

Получится следующее: 10: 0 = х , следовательно х * 0 = 10 . Но наши расчеты не могут быть верны, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0 . В математике не существует такого числа, которое при умножении на 0 давало бы, что-то кроме 0 . Следовательно, уравнения 10: 0 = х и х * 0 = 10 не имеют решения. Ввиду этого и говорят, что на ноль делить нельзя.

Когда можно делить на ноль?

Есть вариант, при котором деление на ноль все же имеет некоторый смысл. Если мы делим сам ноль то получаем следующее 0: 0 = х , а значит х * 0 = 0 .

Предположим, что х=0 , тогда уравнение не вызывает никаких вопросов, все идеально сходится 0: 0 = 0 , а значит и 0 * 0 = 0 .

Но что если х ≠ 0 ? Предположим, что х = 9 ? Тогда 9 * 0 = 0 и 0: 0 = 9 ? А если х=45 , то 0: 0 = 45 .

Мы действительно можем делить 0 на 0 . Но это уравнение будет иметь бесконечное множество решений, так как 0: 0 = чему угодно .

Почему 0: 0 = NaN

Пробовали ли Вы когда-нибудь поделить 0 на 0 на смартфоне? Так как ноль деленный на ноль дает абсолютно любое число, программистам пришлось искать выход из данной ситуации, ведь не может же калькулятор игнорировать ваши запросы. И они нашли своеобразный выход: при делении ноль на ноль вы получите NaN (not a number — не число) .

Почему x: 0 = ∞ а x: -0 = — ∞

Если Вы попробуете на смартфоне разделить какое-либо число на ноль,то ответ будет равен бесконечности. Все дело в том, что в математике 0 иногда рассматривается не как «ничего», а как «бесконечно малая величина». Следовательно, если любое число поделить на бесконечно малую величину, получится бесконечно большая величина (∞) .

Так можно ли делить на ноль?

Ответ, как это часто бывает, неоднозначен. В школе, лучше всего, зарубить себе на носу, что на ноль делить нельзя — это избавит Вас от ненужных сложностей. А вот если будете поступать на математический факультет в университете, на ноль все-таки делить придется.

Класс: 3

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

• раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
• развивать самостоятельность, внимание, мышление;
• формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока